FANDOM


פרדוקסי הנחות יסוד בעיתיות עריכה

  • תחדיש היא תחדיש בפני עצמה, בעוד שסוס איננה סוס. שידחת היא מילה שנועדה לייצג מילים כגון סוס, כלומר, מילים שאינן מייצגות את עצמן. האם שידחת היא שידחת?
  • בעיירה גר ספר שמספר את כל תושבי אותה עיירה שאינם מספרים את עצמם, ורק אותם. מי מספר את הספר?
  • בשאלה אמריקאית ישנו סעיף שטוען כי "אף תשובה אינה נכונה" כולל סעיף זה. כל שאר הסעיפים שגויים. האם קיים פתרון לשאלה?
  • האם ישות כל יכולה מסוגלת ליצור אבן שהוא עצמו אינו יכול להרים?
  • משפט זה הוא שקר. האם משפט זה הוא אמת או שקר?
  • "לכל כלל יש יוצא מהכלל." האם לכלל זה יש יוצא מהכלל? ואם כן, זה נוגד את ההנחה הראשונית.

פרדוקסים אחרים עריכה

פרדוקס בוחן הפתע (פרדוקס לכאורה) עריכה

  • מורה נכנס לכיתה ומודיע לתלמידיו, כי באחד מימי השבוע הבא יתקיים בוחן פתע בתשע בבוקר, ועד לתחילת הבוחן לא תהיה לתלמידים אפשרות לדעת באיזה יום הוא ייתרחש.

התלמידים, בניסיון לדעת את מועד הבוחן, ערכו את הניתוח הבא:

  • לא ייתכן שהבוחן ייערך ביום שישי, משום שאם הבוחן לא יתקיים עד יום חמישי, נדע בוודאות בסופו של יום חמישי שהבוחן יתקיים ביום שישי, וזאת בניגוד לקביעתו של המורה כי עד לתחילת הבוחן לא תהיה לנו אפשרות לדעת באיזה יום הוא ייתרחש.
  • יום חמישי הוא אם כן היום האחרון שבו יכול הבוחן להתרחש. אם כך, לא ייתכן שהבוחן ייערך ביום חמישי, משום שאם הבוחן לא יתקיים עד יום רביעי, נדע בוודאות בסופו של יום רביעי שהבוחן יתקיים ביום חמישי, וזאת בניגוד לקביעתו של המורה כי עד לתחילת הבוחן לא תהיה לנו אפשרות לדעת באיזה יום הוא ייתרחש.
  • באופן דומה נפסל גם יום רביעי, ואחריו יום שלישי, יום שני ויום ראשון.

מסקנתם של התלמידים הייתה שבהתאם לתנאים שקבע המורה, הבוחן אינו יכול להתקיים, ולכן כלל לא טרחו להתכונן אליו. מה גדולה הייתה הפתעתם כאשר ביום שלישי נכנס המורה לכיתה והודיע על תחילתו של בוחן הפתע המובטח. איפה הטעות בניתוח שעשו התלמידים?

פרדוקס יום ההולדת (פרדוקס לכאורה) עריכה

פרדוקס יום ההולדת הוא שמה של תוצאה בתורת ההסתברות לפיה בקבוצה של 23 אנשים או יותר, שנבחרו באקראי, הסיכוי לכך שלפחות שניים מהם נולדו באותו יום בשנה עולה על 50%. תוצאה זו אינה פרדוקס במובן המקובל של המילה, שכן אין בה סתירה לוגית, אך היא סותרת את האינטואיציה של מרבית האנשים, הסבורים כי ההסתברות תהיה קטנה בהרבה מחצי משום שמספר הימים שבהם אפשר להיוולד (365) גדול בהרבה מ-23.

מכירה פומבית של דולר עריכה

המשחק מבוסס על מכירה פומבית בה מוצע למכירה שטר של דולר אחד, אך בתוספת הכלל הבא: לאחר שהוחלט על הזוכה במכירה, גם הוא וגם מציע ההצעה השנייה בגובהה צריכים לשלם את הסכום שהציעו, אך רק הזוכה מקבל את השטר.

בשל כלל זה, המשחק עלול להתפתח באופן הבא: נניח שאחד מהמשתתפים הציע סנט בודד בעד השטר. הדבר כדאי לו, שכן אם יזכה במכירה, ירוויח בצורה זו 99 סנט. עם זאת, מיד לאחר מכן מציע משתתף אחר שני סנט בעד הדולר (מכיוון שכך הוא מבטיח לעצמו רווח של 98 סנט), ובכך גורם למשתתף הראשון להישאר עם הפסד של סנט (שכן הצעתו היא השנייה בגודלה).

המשתתף הראשון, כדי להימנע מהפסד הכסף, יציע סכום גבוה יותר, למשל שלושה סנט, ועל פי אותו היגיון יימשך המשחק עד אשר יציע אחד השחקנים הצעה בגובה 99 סנט (נניח כי ההפרש בין שתי הצעות חייב להיות לכל הפחות סנט).

כעת עומדת בפני השחקן השני הבחירה הבאה: או שיפסיד סכום כלשהו, או שיציע עבור השטר דולר. אם הצעתו תתקבל, הוא אמנם לא ירוויח כלום, אך גם לא יפסיד. עם זאת, הדבר יגרום לשחקן השני להפסיד 99 סנט, ולכן הוא יציע הצעה נוספת, הגדולה מדולר - נאמר, דולר וסנט בודד. כך הוא אמנם מפסיד סנט, אך הפסד זה עדיף לו מאשר הפסד של 99 סנט.

עם זאת, המשחק אינו נגמר כאן; למעשה, ניתן להמשיך אותו על פי היגיון זה ללא הפסקה, כאשר הסכומים שאותם מציעים הצדדים הולכים וגדלים ללא חסם (פרט לחסם שנגזר מכמות הכסף שיש למשתתפים). כך מגיע המשחק לתוצאה אבסורדית, שבה שני השחקנים מפסידים בשל ההשתתפות במכירה הפומבית. המסקנה העולה מניתוח זה היא שההתנהגות הרציונלית היחידה האפשרית ביחס למשחק היא לא להשתתף בו כלל (ואם מישהו כבר משתתף במשחק - הדבר הרציונלי ביותר שהוא יכול לעשות הוא לפרוש מיד).

פרדוקס המספרים המעניינים (פרדוקס לכאורה) עריכה

פרדוקס המספרים המעניינים הוא פרדוקס מילולי, הנובע מהגדרה של מספר טבעי בצורה שלכאורה סותרת את עצמה.

הפרדוקס נובע מהסיווג של קבוצת המספרים הטבעיים למספרים "מעניינים" ולמספרים "לא מעניינים". 1 נחשב מעניין, בתור המספר הקטן ביותר, 2 נחשב מעניין בתור המספר הראשוני הראשון, 6,578 הוא מעניין בתור המספר הקטן ביותר שניתן לבטאו כסכום של שלוש חזקות רביעיות בשתי דרכים, ועוד.

הוכחה שכל המספרים הם מספרים מעניינים מובילה לפרדוקס (ליתר דיוק לאנטינומיה). בהנחה שלא כל המספרים מעניינים, קיימת קבוצה (סופית או אינסופית) של מספרים טבעיים שאינם מעניינים. מכיוון שזו קבוצה של מספרים טבעיים, חייב להיות בקבוצה איבר מינימלי; עצם העובדה שאיבר זה הוא הקטן ביותר מבין כל המספרים הלא-מעניינים - היא מעניינת כשלעצמה, ועל כן מקומו בקבוצת המספרים המעניינים, ולא בקבוצת המספרים הלא-מעניינים.

לכן, תמיד האיבר המינימלי בקבוצת המספרים הלא-מעניינים הוא מעניין ואין מקומו בקבוצת המספרים הלא-מעניינים. היות שאיננו בקבוצת המספרים הלא-מעניינים, הוא לא מעניין משום סיבה אחרת ולכן הוא כן בקבוצת המספרים הלא-מעניינים, וחוזר חלילה.

פרדוקס אכילס והצב עריכה

הפרדוקס מתאר תחרות ריצה בין האצן האגדי, אכילס, לבין צב: אכילס רץ במהירות 10 מטרים לשנייה, פי עשרה מהר יותר מן הצב ולכן הוא מחליט להתחשב בצב ונותן לו יתרון של 100 מטרים בתחילת התחרות. מניסיון החושים ברור שאכילס יעבור את הצב תוך זמן קצר, אך לטענתו של זנון – בתנאים אלה אכילס לעולם לא ישיג את הצב.

הסיבה לכך היא שבזמן שאכילס יעבור את 100 המטרים הראשונים ויגיע אל נקודת ההתחלה של הצב, הצב יתקדם עוד 10 מטרים, ולכן הוא עדיין יקדים את אכילס. כאשר אכילס ימשיך ויעבור את 10 המטרים הנוספים, הצב כבר יעבור עוד מטר, ושוב יקדים אותו. וכך הלאה, עד שאכילס מגיע לנקודה בה היה הצב קודם, הצב כבר מתקדם לנקודה רחוקה יותר. לכן, אכילס ילך ויתקרב אל הצב, אך לעולם לא יוכל להשיג אותו.

פרדוקס זה עומד, כאמור, בסתירה לידוע לנו – אכילס ישיג את הצב תוך זמן קצר. יתר על כן, פתרון משוואה אלגברית פשוטה ייתן כי לאחר $ \ 11\frac{1}{9} $ שניות אכילס ישיג את הצב.

הפתרון של החשבון האינפיניטסימלי לפרדוקס הוא שלמעשה המרחק שאכילס יעבור, אותו תיאר הפרדוקס במספר אינסופי של שלבים, יכול להיות סופי, וכך גם הזמן הכולל שייקח לאכילס לבצע את אינסוף השלבים. במהלך כל שלב, הדרך אותה עובר אכילס הולכת וקטנה ובאותה מידה גם הזמן שלוקח לו לעבור אותה.

הפרדוקס מחלק את הריצה של אכילס למספר אינסופי של שלבים שונים שגודלם הוא סדרה גאומטרית. המרחק הראשון אותו עבר אכילס הוא 100 מטרים (במשך 10 שניות), ובזמן זה עבר הצב 10 מטרים, המרחק השני אותו עבר אכילס הוא 10 מטרים (עשירית מהמרחק הקודם, במשך שנייה אחת), ובזמן זה עבר הצב מטר אחד, המרחק השלישי אותו עבר אכילס הוא מטר אחד (במשך עשירית שנייה), ובזמן זה עבר הצב 10 ס"מ, וכך הלאה, כל איבר בסדרה הוא 1/10 מקודמו. בכלים בסיסיים של החשבון אינפיניטסימלי ניתן להראות שהטור שמתאר סדרת הזמנים מתכנס למספר סופי שהוא $ \ 11\frac{1}{9} $ שניות. לאחר זמן זה אכילס והצב יהיו באותו מקום, ובצעד הבא ישיג אכילס את הצב.

ההסבר לפרדוקס הוא שאנו מסתכלים על המערכת בזמן שמתכנס ל-$ \ 11\frac{1}{9} $ שניות ובזמן זה לעולם לא נראה את אכילס עוקף את הצב. ככל שהמרחקים קצרים, כך גם הזמן קצר.

פרדוקס הדיכוטומיה עריכה

הפרדוקס: אדם שרוצה לנוע ממקום למקום, כלומר לעבור מנקודת יציאה לנקודת יעד, לעולם לא יוכל להגיע למטרתו, כי לפני שיגיע לנקודת היעד, הוא חייב להגיע לאמצע הדרך שבין נקודת היציאה לבין נקודת היעד. בנוסף לזאת, לפני שיגיע מנקודת היציאה לאמצע הדרך, הוא חייב להגיע לאמצע הדרך שבין נקודת יציאה לבין אמצע הדרך, וכך הלאה. בהתאם לכך, האדם לעולם לא יוכל לזוז ממקומו, כי כדי להגיע לנקודה הראשונה במסעו הוא חייב לעבור אינסוף נקודות.

הפתרון: פרדוקס זה דומה לקודמו בכך שהוא מפרק תהליך סופי לאינסוף תהליכים שהולכים וקטנים. בנוסף, הפרדוקס מתבסס על ההנחה האינטואיטיבית שלכל אוסף של נקודות יש נקודה ראשונה אותה יש לעבור. הנחה זו היא שגויה (אין מספר חיובי מינימלי) ולמעשה שלילתה עומדת בבסיס המושג המרכזי בחשבון האינפיניטסימלי "קטן כרצוננו". בדומה לפרדוקס הראשון, גם כאן עומדת הפרכת הפרדוקס על העקרון לפיו מספר אינסופי של שלבים יכול להתבצע בזמן סופי - על האדם לנוע אינסוף 'צעדים', אך למעשה הוא יכול לבצע אותם בפרק זמן סופי, ולכן יגיע בסופו של דבר לנקודת הסיום.

פרדוקס החץ עריכה

הפרדוקס: חץ נורה אל מטרה. ברגע מסוים במעופו הוא נמצא במקום מסוים, כלומר הוא נמצא במנוחה. תיאור זה נכון לגבי כל אחד מהרגעים של מעוף החץ, ולכן החץ נמצא במנוחה במהלך כל מעופו, כלומר תנועת החץ כלל אינה קיימת.

הפתרון ניתן באמצעות מושג הגבול של החשבון האינפיניטסימלי, ממנו נלמד שגם כאשר אורכו של הרגע שואף לאפס, מהירות החץ יכולה להיות גדולה מאפס (כלומר החץ לא נמצא במנוחה). זהו למעשה מושג המהירות הרגעית בפיזיקה, המתקבל מגזירת מיקום החץ כפונקציה של הזמן.

החתול של שרדינגר עריכה

מניחים חתול בתיבה אטומה; בתוך התיבה נמצא מתקן ובו אטום בודד של חומר רדיואקטיבי, שיש לו הסתברות של 50% בדיוק להתפרק במהלך הניסוי. אם יתפרק החומר, ירגיש בכך חיישן המצוי במתקן שבתיבה ויגרום לפליטת רעל שימית את החתול; אם לא יתפרק החומר, יישאר החתול בחיים. בתום הזמן הקצוב לניסוי פותחים את התיבה ואז יודעים אם החתול חי או מת, אבל מה מצבו כל עוד התיבה סגורה? התשובה המתבקשת היא: "לא חי ולא מת, אלא חצי מזה וחצי מזה".

פרדוקס המעטפות עריכה

נתונות שתי מעטפות. באחת המעטפות ישנו סכום כסף מסוים (X) ובשנייה סכום כפול (2X). משתתף מקבל אחת מן המעטפות, בסיכויים שווים, ונשאל האם ברצונו לעבור ממה שקיבל למעטפה השנייה.

המשתתף מוצא במעטפה שלו סכום Y. מנקודת המבט שלו, יש שתי אפשרויות: או שבמעטפות יש Y ו- 2Y (ואז, אם הוא מחליף, הוא מרוויח Y), או שבמעטפות יש Y ו- Y/2 (ואז, אם הוא מחליף, הוא מפסיד Y/2). מכיוון שלכאורה שני המקרים סבירים באותה מידה, עדיף להחליף, משום שהרווח הפוטנציאלי כפול מההפסד הפוטנציאלי (כלומר להחלפה תוחלת חיובית, ולכן היא כדאית).

הנימוק הזה נכון לכל Y. כלומר - אפשר היה לבחור את המעטפה הראשונה ולא לפתוח אותה, ולפי אותו שיקול כדאי להחליף מעטפות בלי קשר לתכולת המעטפה הראשונה. הייתכן? הרי אם לא פתחנו את המעטפה, מה מבדיל אותה מן המעטפה השנייה? ואם לא פתחנו את המעטפות עדיין, גם את המעטפה השנייה כדאי להחליף, ולחזור לראשונה.


Mumlatz

ערך זה הוכתרערך מומלץ בעייני מנהל האתרולכן הערך ראוי להופיע בעמוד הראשי


Mumlatz